Hệ số

Các hệ số của một đa thức thường được coi là số thực hoặc số phức. Riêng số phức có thể đề cập trong Giải tích phức và biểu diễn được trên hệ trục tọa độ.

Bậc của hàm

Thuật ngữ "đa thức bậc hai" đôi khi có nghĩa là "có bậc là 2", hoặc đôi khi là "có bậc cao nhất là 2". Nếu bậc nhỏ hơn 2, điều này có thể được gọi là "trường hợp suy biến". 

Thông thường, nghĩa của thuật ngữ sẽ được xác định bởi ngữ cảnh.

Biến

Một đa thức bậc hai có có 1 biến duy nhất x (trường hợp đơn biến), hoặc nhiều như biến x , y , và z (trường hợp đa biến). Trên thực tế, người ta thường quy một hàm nhiều biến về các hàm 2 biến để dễ xét.

Trường hợp một biến

Bất kỳ một đa thức bậc hai 1 biến nào cũng có thể được viết dưới dạng:

a x 2 + b x + c {\displaystyle ax^{2}+bx+c}

Trong đó:

x là biến

a, b, c là các hệ số

Trong đại số cơ bản, đa thức như vậy thường phát sinh dưới dạng phương trình bậc hai. Các nghiệm cho phương trình này được gọi là gốc của đa thức bậc hai, và có thể được tìm thấy thông qua phân tích thành nhân tử, phần bù bình phương, đồ thị, phương pháp Newton, hoặc thông qua việc sử dụng công thức bậc hai. Mỗi đa thức bậc hai có một hàm bậc hai liên quan, có đồ thị là một hình parabol.

Biệt thức

Biệt thức thông thường Δ = b 2 − 4 a c {\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac}

Ngoài ra, với b = 2b' thì ta có biệt thức thu gọn: Δ ′ = b ′ 2 − a c {\displaystyle \Delta '=b'^{2}-ac} . Khi đó Δ = 4 Δ ′ {\displaystyle \Delta =4\Delta '}

Trường hợp hai biến

Bất kỳ đa thức bậc hai 2 biến nào cũng có thể được viết dưới dạng:

f ( x , y ) = a x 2 + b y + c x y + d x + e y + f {\displaystyle f(x,y)=ax^{2}+by+cxy+dx+ey+f}

Trong đó x và y là các biến và a , b , c , d , e , f là các hệ số. Các đa thức như vậy là cơ sở để nghiên cứu các hình conic, được biểu diễn bằng cách biểu diễn biểu thức cho f(x,y) với không. Tương tự như vậy, đa thức bậc hai với 3 hoặc nhiều hơn các biến tương ứng với mặt bậc hai và siêu mặt. Trong đại số tuyến tính, đa thức bậc hai có thể được khái quát thành khái niệm của dạng bậc hai trên không gian véc tơ.